Добавлено в закладки: 0

Таблица интегралов

К Вашему вниманию предоставлена таблица неопределенных интегралов. Интеграл является одним из основных понятий математического анализа. В таблицах ниже мы попытались предоставить все основные формулы нахождения неопределенных интегралов, которые помогут Вам решить задания по теме нахождение неопределенных интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов

\(\int 0dx=C\)

\(\int 1dx=x+C\)

\(\int  x^{n} dx= \frac{ x^{n+1} }{n+1}+C, n \neq -1,\)

\(\int  \frac{dx}{x} =ln |x| + C\)

\(\int  a^{x}dx  = \frac{a^{x}}{ln a} + C\)

\(\int  e^{x}dx  = e^{x} + C\)

\(\int sinxdx  = -cosx + C\)

\(\int cosxdx  = sinx + C\)

\(\int  \frac{dx}{ sin^2 x} = -ctgx + C\)

\(\int  \frac{dx}{ cos^2 x} = tgx + C\)

\(\int  \frac{dx}{ \sqrt{a^2-x^2} } = arcsin \frac{x}{a} + C, |x|<|a|\)

\(\int  \frac{dx}{a^2+x^2}= \frac{1}{a} arctg \frac{x}{a}+C\)

\(\int  \frac{dx}{a^2-x^2}= \frac{1}{2a} ln  |\frac{a+x}{a-x}|+C,  | x |  \neq a\)

\(\int  \frac{dx}{ \sqrt{x^2 \pm a^2} } = ln | x+ \sqrt{x^2 \pm a^2}  | + C\)

Таблица интегралов от рациональных функций

\(\int  x^{n} dx= \frac{ x^{n+1} }{n+1}+C\)

\(\int  (ax+b)^{n} dx= \frac{ (ax+b)^{n+1} }{a(n+1)}+C\)

\(\int  \frac{dx}{x} =ln |x| + C\)

\(\int  \frac{dx}{ax+b} = \frac{1}{a} ln |ax+b| + C\)

\(\int  \frac{ax+b}{cx+d}dx = \frac{a}{c}x +  \frac{bc-ad}{c^2} ln |cx+d| + C\)

\(\int  \frac{dx}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{a-b} + ln | \frac{x+b}{x+a} | + C\)

\(\int  \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} ln | \frac{x-a}{x+a} | + C\)

\(\int  \frac{xdx}{(x+a)(x+b)} = \frac{1}{a-b} ( aln | x+a |-b ln | x+b | )+ C\)

\(\int  \frac{xdx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2} ln | x^2-a^2 | + C\)

\(\int  \frac{dx}{x^2+a^2} = \frac{1}{a} arctg (\frac{x}{a})  + C\)

\(\int  \frac{xdx}{x^2+a^2} = \frac{1}{2} ln | x^2+a^2 | + C\)

\(\int  \frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = \frac{1}{2a^2} \frac{x}{x^2+a^2}+ \frac{1}{2a^3}arctg (\frac{x}{a}) + C\)

\(\int  \frac{xdx}{(x^2+a^2)^2} = -\frac{1}{2} \frac{1}{x^2+a^2}+ C\)

\(\int  \frac{xdx}{(x^2+a^2)^3} = -\frac{1}{4} \frac{1}{(x^2+a^2)^2}+ C\)

\(\int  \frac{dx}{ax^2+bx+c} = \frac{2}{ \sqrt{4ac-b^2} } arctg \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} + C , (b^2-4ac)<0\)

\(\int  \frac{xdx}{ax^2+bx+c} = \frac{1}{ 2a } ln |ax^2+bx+c| — \frac{b}{2a}  \int  \frac{dx}{ax^2+bx+c} + C \)

\(\int  \frac{xdx}{ax+b} = \frac{1}{ a^2 } (b+ax-b ln  | ax+b | ) + C \)

\(\int  \frac{x^2dx}{ax+b} = \frac{1}{ a^3 } ( \frac{1}{2} (ax+b)^2 — 2b(ax+b) + b^2ln  | ax+b | ) + C \)

\(\int  \frac{dx}{x(ax+b)} = \frac{1}{ b } ln  |  \frac{ax+b}{x}  | ) + C\)

\(\int  \frac{dx}{x^2(ax+b)} = — \frac{1}{bx} + \frac{a}{ b^2 } ln  |  \frac{ax+b}{x}  | ) + C\)

\(\int  \frac{xdx}{(ax+b)^2} = \frac{1}{a^2} (ln  |ax+b| +  \frac{b}{ax+b} ) + C\)

\(\int  \frac{x^2dx}{(ax+b)^2} = \frac{1}{a^3} (b+ax-2bln  |ax+b| —  \frac{b^2}{ax+b} ) + C\)

Таблица неопределенных интегралов от транцендентных функций

\(\int  e^{x}dx  = e^{x} + C\)

\(\int  a^{x}dx  = \frac{a^{x}}{ln a} + C\)

\(\int  \frac{dx}{xlnx}=ln | lnx | +C\)

\(\int   x^{n} lnx dx =x^{n+1} \big( \frac{lnx}{n+1} — \frac{1}{(n+1)^2}\big)+C\)

\(\int   e^{ax} lnx dx = \frac{1}{a} e^{ax}lnx — \frac{1}{a}\int  \frac{ e^{ax} }{x} dx +C\)

\(\int x^nln^mxdx= \frac{ x^{n+1} }{n+1} ln^mx —  \frac{m}{n+1}\int x^n ln^{m-1}xdx+C\)

\(\int  \frac{x^n}{ln^mx} dx=- \frac{ x^{n+1} }{(m-1)ln^{m-1}x} + \frac{n+1}{m-1} \int  \frac{x^n}{ln^{m-1}x} dx+C\)

\(\int  lnx dx=xlnx-x+C\)

\(\int arcsinx dx=xarcsinx+ \sqrt{1-x^2} +C\)

\(\int arctgx dx=xarctgx-ln\sqrt{1+x^2} +C\)

\(\int  e^{ax}dx  =  \frac{e^{ax}}{a} + C\)

\(\int  xe^{ax}dx  =  \frac{e^{ax}}{a^2} (ax-1)  + C\)

\(\int   \frac{a^{x}}{x^n} dx  =  -\frac{a^x}{(n-1) x^{n-1}} +  \frac{lna}{n-1} \int   \frac{a^{x}}{ x^{n-1} } dx + C\)

\(\int shx dx = chx + C\)

\(\int chx dx = shx + C\)

Таблица интегралов от иррациональных функций

\(\int  \frac{dx}{ \sqrt{ax+b} }  =  \frac{2}{a}  \sqrt{ax+b}  + C\)

\(\int  \sqrt{ax+b}dx  =  \frac{2}{3a}   (ax+b)^{1,5}  + C\)

\(\int  \frac{xdx}{\sqrt{ax+b}}=\frac{2(ax-2b)}{3a^2}(ax+b)^{1,5}+C\)

\(\int  x\sqrt{ax+b}dx= \frac{2(3ax-2b)}{15a^2}(ax+b)^{1,5}+C\)

\(\int  \frac{dx}{(x+c) \sqrt{ax+b}}=\frac{1}{\sqrt{b-ac}}ln|\frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b-ac}}{\sqrt{ax+b}\sqrt{b-ac}}|+C, (b-ac>0)\)

\(\int  \frac{dx}{(x+c) \sqrt{ax+b}}=\frac{1}{\sqrt{ac-b}}arctg( \sqrt{ \frac{ax+b}{ac-b} } )+C, (b-ac<0)\)

\(\int  \sqrt{ \frac{ax+b}{cx+d} }dx= \frac{1}{c}  \sqrt{(ax+b)(cx+d)}- \frac{ad-bc}{c \sqrt{ac} } arctg \sqrt{ \frac{a(cx+d)}{c(ax+b)} }+C\)

\(\int \frac{dx}{x \sqrt{ax+b}}=\frac{1}{ \sqrt{b} }ln|\frac{\sqrt{ax+b}-\sqrt{b}}{\sqrt{ax+b}+\sqrt{b}}|+C, b>0\)

\(\int \frac{dx}{x \sqrt{ax+b}}=\frac{2}{ \sqrt{-b} }arctg  \sqrt{ \frac{ax+b}{-b} } +C, b<0\)

\(\int \frac{dx}{x^2 \sqrt{ax+b}}=-\frac{ \sqrt{ax+b} }{ bx }-  \frac{a}{2b} \int \frac{dx}{x \sqrt{ax+b}}+C\)

\(\int  \frac{ \sqrt{ax+b} }{x}dx=2 \sqrt{ax+b}+b\int  \frac{ dx }{x\sqrt{ax+b}}+C\)

\(\int  \sqrt{ \frac{a-x}{b+x} } dx= \sqrt{(a-x)(b+x)}-(a+b)arcsin \sqrt{ \frac{x+b}{a+b} }  +C\)

\(\int  \sqrt{ \frac{a+x}{b-x} } dx= -\sqrt{(a+x)(b-x)}-(a+b)arcsin \sqrt{ \frac{b-x}{a+x} }  +C\)

\(\int \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx=-\frac{1}{\sqrt{a}}arcsin\frac{2ax+b}{\sqrt{b^2-4ac}}+C\)

\(\int \sqrt{ax^2+bx+c}dx= \frac{2ax+b}{4a}\sqrt{ax^2+bx+c}+\frac{4ac-b^2}{8a}\int  \frac{dx}{\sqrt{ax^2+bx+c}}+C\)

\(\int \sqrt{x^2+a^2}dx= \frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}ln | x+\sqrt{x^2+a^2} | +C\)

\(\int \sqrt{x^2-a^2}dx= \frac{x}{2}\sqrt{x^2-a^2}-\frac{a^2}{2}ln | x+\sqrt{x^2-a^2} | +C\)

\(\int  \frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = ln | x+\sqrt{x^2+a^2} | +C\)

\(\int  \frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = ln | x+\sqrt{x^2-a^2} | +C\)

\(\int  \frac{xdx}{\sqrt{x^2+a^2}} =\sqrt{x^2+a^2}+C\)

\(\int  \frac{\sqrt{x^2-b^2}}{x}dx =\sqrt{x^2-b^2}+barcsin \frac{b}{x} +C\)

\(\int  \sqrt{a^2-x^2}dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2-x^2}+ \frac{a^2}{2} arcsin \frac{x}{a} +C\)

\(\int   \frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}dx = \sqrt{a^2-x^2}+aln |\frac{x}{a+\sqrt{a^2-x^2}}|+C\)

\(\int  \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcsin( \frac{x}{a} )+C\)

\(\int  \frac{xdx}{\sqrt{a^2-x^2}}=-\sqrt{a^2-x^2}+C\)

\(\int  \frac{dx}{x\sqrt{a^2-x^2}}= \frac{1}{a}ln|\frac{x}{a+\sqrt{a^2-x^2}}| +C\)

Таблица интегралов от тригонометрических функций

\(\int sinxdx  = -cosx + C\)

\(\int cosxdx  = sinx + C\)

\(\int sin^2xdx= \frac{x}{2} — \frac{1}{4}sin2x + C\)

\(\int cos^2xdx= \frac{x}{2} + \frac{1}{4}sin2x + C\)

\(\int  sin^nxdx= -\frac{1}{n} sin^{n-1}xcosx + \frac{n-1}{n}\int sin^{n-2}xdx + C\)

\(\int  cos^nxdx= \frac{1}{n} cos^{n-1}xsinx + \frac{n-1}{n}\int cos^{n-2}xdx + C\)

\(\int  \frac{dx}{sinx}=ln | tg \frac{x}{2}  |  + C\)

\(\int  \frac{dx}{cosx}=ln |tg (\frac{x}{2}+ \frac{ \pi }{2})| + C\)

\(\int sinxcosxdx=-\frac{1}{4}cos2x + C\)

\(\int sin^2xcosxdx=\frac{1}{3}sin^3x + C\)

\(\int sinxcos^2xdx=-\frac{1}{3}cos^3x + C\)

\(\int sin^2xcos^2xdx=\frac{1}{8}x- \frac{1}{32}sin4x + C\)

\(\int tgxdx=-ln | cosx | + C\)

\(\int ctgxdx=ln | sinx | + C\)

\(\int  \frac{sinx}{cos^2x} dx=\frac{1}{cosx}+C\)

\(\int  \frac{sin^2x}{cos^2x} dx=tgx-x+C\)

\(\int  \frac{sin^2x}{cosx} dx=ln | tg (\frac{x}{2}+ \frac{ \pi }{2} ) | — sinx + C\)

\(\int  \frac{cosx}{sin^2x} dx=- \frac{1}{sinx} +C\)

\(\int  \frac{cos^2x}{sin^2x}dx=-ctgx-x+C\)

\(\int \frac{cos^2x}{sinx}dx=ln| tg \frac{x}{2}|+cosx+C\)

\(\int \frac{dx}{cosxsinx}=ln|tg x|+C\)

\(\int \frac{dx}{sin^2xcosx}=- \frac{1}{sinx}+ln | tg (\frac{x}{2} + \frac{ \pi }{2} ) |  +C\)

\(\int \frac{dx}{sinxcos^2x}=\frac{1}{cosx}+ln | tg \frac{x}{2}|+C\)

\(\int \frac{dx}{sin^2xcos^2x}=tgx-ctgx+C\)

\(\int \frac{dx}{sin^nx}=- \frac{1}{n-1} \frac{cosx}{ sin^{n-1}x}+ \frac{n-2}{n-1}\int \frac{dx}{ sin^{n-2}x} +C\)

\(\int tg^nxdx=\frac{ tg^{n-1}x}{n-1} — \int  tg^{n-2} xdx +C\)

\(\int ctg^nxdx=-\frac{ ctg^{n-1}x}{n-1}-\int ctg^{n-2}xdx+C\)

\(\int sinxcos^nxdx=-\frac{cos^{n+1}x}{n+1}+C\)

\(\int sin^nxcosxdx=\frac{sin^{n+1}x}{n+1}+C\)