Добавлено в закладки: 0

Правила нахождения производной

Вычисление производной является одной из основных операций в дифференциальном исчислении. Чтобы правильно использовать таблицу производных, нужно знать правила нахождения производной. При описании правил будем использовать функции u=u(x) и v=v(x), которые являются дифференцируемыми в точке х (функции имеют производные в этой точке). 

Производная произведения константы на функцию

Производная произведения константы на некоторую функцию равна произведению этой константы на производную от заданной функции (константа выносится за знак производной):

\((cu(x))’ =c(u(x))’, c=const\)

Производная суммы (разности) функций

Производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций:

\((u \pm v)’ =u’ \pm v’\)

Замечание: Это свойство справедливо для n-го числа функций.

Производная произведений двух функций

Производная произведений двух функций равна сумме произведений производной первой функции на вторую и первой функции на производную второй функции:

\((uv)’ =u’v+uv’\)

Производная частного двух функций

Производная частного двух функций равна отношению разности произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя и квадрата исходного знаменателя:

\((\frac{u}{v})’ =\frac{u’v-uv’}{v^{2}}\)

Также при нахождении производной обязательно нужно знать правило нахождения сложной функции.

Производная сложной функции

Производная сложной функции y(u) равна производной этой функции по промежуточному аргументу u, умноженной на производную от промежуточного аргумента u по основному аргументу x (при условии, что функции y(u) и u(x) дифференцируемые):

\((y(u(x))’ =(y(u)'(u(x))’\)

Примеры нахождения производной:

\((5sinx)’ =5(sinx)’=5cosx\)

\((x + cosx)’ =(x)’ + (cosx)’=1-sinx\)

\(( \sqrt{x}tgx )’ =(\sqrt{x})’tgx+\sqrt{x}(tgx)’=( \frac{tgx}{2\sqrt{x}}+ \frac{\sqrt{x}}{(cosx)^2} \)

\((\frac{x^2}{ sinx })’ =\frac{(x^2)’sinx-x^2(sinx)’}{(sinx)^{2}}=\frac{2xsinx-x^2cosx}{(sinx)^{2}}\)

\((cos( \frac{1}{x} ))’ =-sin \frac{1}{x}(\frac{1}{x})’=-sin \frac{1}{x}(-\frac{1}{x^2})=\frac{1}{x^2}sin \frac{1}{x}\)